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簡単な相対論入門 (12)

約2週間ぶりです。相対論についての記事を書くのは。

ちょっとまとめ方をあれやこれやと考えていたのとゼミの担当が回ってきてしまったので、じっくりやる余裕もなくといった感じで間が空いてしまいましたが次に行きたいと思います。

前回はRiemann空間のテンソルについて書きました。

今回もそうなんですが、今回は平行移動・共変微分のことをまとめてみたいと思います。


任意のベクトルimg1_20101128173227.png微分img2_20101128173226.pngは一般の座標変換に対してどのようになるかを考えてみます。
img2_20101128173226.png
img3_20101128173226.png
のようになります。これは異なる世界点でのimg1_20101128173227.pngの差になっています。つまり、任意のベクトルの微分img2_20101128173226.pngは一般の座標変換においてテンソルにはなりません。

そこで、img1_20101128173227.pngを点img4_20101128173225.pngから点img5_20101128173225.pngに"平行"移動した結果をimg6_20101128173225.pngと書き、次のような式でimg1_20101128173227.png微分を定義します。
img7_20101128173301.png

次に無限小平行移動により、1次変換になると仮定して
img9_20101128173300.png
と平行移動を定義してみます。これはいままでの平行移動の自然な拡張だと思えます。
先ほどの定義式を使うと、img1_20101128173227.png微分
img11_20101128173300.png
と書けます。これをimg1_20101128173227.pngの共変微分といいます。

ところで、平行移動の定義の式を見てみると、ベクトルimg1_20101128173227.pngimg12_20101128173300.pngの間に線形関係があります。
これをアフィン接続といい、Xを接続係数、またはアフィン係数といいます。

ここで、Riemann幾何学でのベクトルの平行移動にある要請を与えます。
それは「ベクトルの大きさは平行移動に対して不変である」、つまり、
img13_20101128173324.png
というものです。

これを用いると、
img14_20101128173323.png
という3つの関係式が導かれます。
さらにimg15.pngを仮定すると、
img16.png
という式が導くことができます。
ところで、ここで定義したimg17.pngはクリストッフェルの記号と言います。

ふぅ、何とかクリストッフェル記号まで書きました。
次回は曲率です。これで大体必要な数学的知識はそろうのでその次からはいよいよ一般相対論の内容へと迫ってみたいと思います。

毎度のごとく、いつになるかはわかりませんが。

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