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群、環、体の定義

今日は忘れないためにも群、環、体の定義をメモメモ。


一般には二項演算全般に対して定義するようですが、今回は加法、乗法についてに限定して書くことにする。


まず群の定義。

加法、乗法(記号:"・")に対して、次の性質が成り立つ集合Gを群という。

1.任意のGの元a, b, cについて、a・(b・c)=(a・b)・c
2.任意のGの元aに対して、a・e=e・aとなるGの元eが存在する
3.任意のGの元aに対して、a・a-1=a-1・a=eとなるa-1が存在する

また、任意のGの元a, bに対してa・b=b・aとなる群Gを可換群(アーベル群)と呼ぶ。



次に環。

加法(記号:"+")に対して、可換群であり、乗法(記号:"・")に対して次の性質が成り立つ集合Rを環という。

1.任意のRの元a, b, cについて、a・(b・c)=(a・b)・c
2.任意のRの元a, b, cについて、(a+b)・c=(a・c)+(b・c)
3.任意のRの元a, b, cについて、a・(b+c)=(a・b)+(a・c)


最後に体。

加法(記号:"+")に対して、可換群であり、乗法(記号:"・")に対して次の性質が成り立つ集合Kを体という。

1.任意のKの元a, b, cに対して、a・(b・c)=(a・b)・c
2.任意のKの元aに対して、a・e=e・aとなるKの元eが存在する
3.Kの0以外の元が群をなす
4.任意のKの元a, b, cについて、(a+b)・c=(a・c)+(b・c)
5.任意のKの元a, b, cについて、a・(b+c)=(a・b)+(a・c)


・・・であってるかな。
体の定義の1、2の性質を併せ持つ集合は半群(モノイド)と呼ばれるそうです。

ハッピーハロウィーンといいつつおそらくこれを見た人のほとんどは、ハロウィンではないのではないかと思います。そして、プロフィールのハロウィン用の画像も見おさめ。

11月も頑張ってブログ書いていこうと思います。

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