さて、今回からテンソル。
前回までは時間と位置の4成分についてばらばらに考えていたが、一般的なローレンツ変換においてそれは面倒くさい。そのために3次元のときと同じように4次元のベクトルを考えて、それがどのように変換されるかを考えることにしたい。
しかし、ただ(t, x, y, z)をベクトルにするのは問題がある。それは次元がそろっていないということである。tの単位は時間だが、x, y, zは長さの単位を持つ。そこで、「どんな慣性系でも不変の値」を使って4次元ベクトルの成分の次元をそろえておきたい。とはいっても、「どんな慣性系でも不変の値」など今のところ一つくらいしか思い浮かばない。それはもちろん光速cである。
4次元ベクトルを(ct, x, y, z)とすると、ベクトルの成分は全て長さの単位となる。
さらに、簡略化するために
(ct, x, y, z)=(x0, x1, x2, x3)としよう。
また今後はβ=v/cとする。
これを使って前前回のローレンツ変換の式を書きなおすと
となる。上付きの添え字は累乗と紛らわしくならない限り、特に問題はないはずである。
またこの変換式をなんだかよくわからないが、下のように書く。
ところで、これを実際に行列形式で書くと
となる。
