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卒研ゼミ 第7回(本ゼミ)

ちょっと遅れてしまいました・・・

本当は昨日書くつもりだったんですが、まだ自分のゼミの担当部分が終わっていなかったのでその辺を詰めていたら昨日一日終わってしまった感じでした。


さて、今回はPeskin本の2.4節(ただしまだ最後の小節が残っている)。

重要な部分が多かったのでとりあえず概要をまず書きます。

今回の部分は第2章で今まで議論してきたことをハイゼンベルグ表示にすることで時間をあらわにし、タイトルにあるように「時空でのクライン-ゴルドン場」を議論することです。
まず今までの議論をハイゼンベルグ表示に書きかえることからこの節は始まります。
それから問題となっていた因果律を破っている問題を解決します。
次にクライン-ゴルドンのプロパゲーターを議論します。
ここで、積分路の取り方をどうするかというのが重要だということがわかります。(とくに無限遠での被積分関数の挙動)またその中で出てくるファインマン・プレスクリプション(ファインマンの処方箋)は第4章でまた現れるようです。

概要としてはこんな感じです。

忘れていたのが複素関数でブランチを飛び越えるとき、「2乗根の関数はプラスからマイナスになる」ということです。

また、(2.56)ではδ関数の微分をどう考えるか、ということが分からず、ゼミでは先生が説明してくださいました。(2.57)も同様、(2.56)の右辺をフーリエ変換で置き直すことで答えが出せることがわからずに先生に教えてもらうことになりました。

その他自分の反省点としては、「自作資料にミスが多かった」ことです。
これは自分が思っていた以上に多く、非常に残念でした。

今回は複素積分を行うときに留数定理を頻繁に用いることです。
これはあまり複素積分をやる機会がなかったので非常に躓きやすい部分でした。

しかし気がついてみると特異点を含んでいるのだから当たり前と言えば当たり前でした。
ただ、留数定理を適応するための式変換に気がつくのに時間がかかってしまったことは残念でした。

今のところの問題点は、最後の小節の(2.65)式の|0>がハミルトニアンの変化する前の真空なのか、後の真空なのかという質問です。
おそらく(自由理論の場合の真空と書いてありますし)前でいいとは思うのですが、そのように考えていい理由も答えるように言わました。
その理由の部分がはっきりしていません。
ハイゼンベルグ表示なので、固有ケットは変化する(自信がないけど)はずだったので、確かにどちらかであることは間違いないのですが、エネルギー基底状態である|0>にHを作用させて値が出るということは自由理論の真空としていいのかどうかというのも疑問です。しかしj(x)=0となれば、|0>が自由理論の真空であるなら、H|0>=0となりますし、そういう意味では整合性が取れているともいえます。

この辺は明日までには解決したいですが、それが可能かどうかはわかりません。
頑張りたいとは思いますが。

先生にはできればハミルトニアンそのものの導出も余力があればやっておいてほしいと言われましたが、(2.65)式の部分がなかなか考えつかないため、かなり無理そうです。

とりあえずは明日まで自分が担当するゼミがあるので、そこまでは気合いを入れていきたいと思います。

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