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簡単な相対論入門 (11)

相対論

今回はRiemann空間におけるテンソルについて書きます。

とはいっても、定義はMinkowski空間のときと同じです。

ところで、前回書いた2点間の無限小の差img3_20101114042133.pngはベクトルです。なぜなら
img4_20101114042443.png
であるからです。しかし、img2_20101114042115.pngは変換則が
img2_20101106194718.png
だったのでベクトルではありません。

また、Riemann空間では添え字の上げ下げをimg8_20101106195643.pngで行うのでimg5_20101114042248.png
となります。また、
img6_20101114042512.png
をベクトルAの大きさの2乗といいます。
ところでRiemann空間では任意の座標系をとることができるのですが、現実の時空では次のような制限が存在します。
img7_20101114042543.png
この条件からimg8_20101106195643.pngには次のような条件
img8_20101114042809.png
が課されていることになります。
ただし、i,k=1,2,3についての全ての組であり、上の条件式に同じ添え字が2個出ても和はとらないものとします。


まあ、テンソル密度について何も触れていないのも結局Minkwski空間のときと変わらないからです。
この後も大分Riemann空間の話ばかりになるとは思います。

ただこれを理解せずして一般相対論を(理論的に)理解するのは難しいので避けて通るわけにはいきません。
今回はここまで。

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