今回はRiemann空間におけるテンソルについて書きます。
とはいっても、定義はMinkowski空間のときと同じです。
ところで、前回書いた2点間の無限小の差
はベクトルです。なぜなら
であるからです。しかし、
は変換則が
だったのでベクトルではありません。
また、Riemann空間では添え字の上げ下げを
で行うので
となります。また、
をベクトルAの大きさの2乗といいます。
ところでRiemann空間では任意の座標系をとることができるのですが、現実の時空では次のような制限が存在します。
この条件からには次のような条件
が課されていることになります。
ただし、i,k=1,2,3についての全ての組であり、上の条件式に同じ添え字が2個出ても和はとらないものとします。
まあ、テンソル密度について何も触れていないのも結局Minkwski空間のときと変わらないからです。
この後も大分Riemann空間の話ばかりになるとは思います。
ただこれを理解せずして一般相対論を(理論的に)理解するのは難しいので避けて通るわけにはいきません。
今回はここまで。
