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簡単な相対論入門 (5)

さて、今回からテンソル

前回までは時間と位置の4成分についてばらばらに考えていたが、一般的なローレンツ変換においてそれは面倒くさい。そのために3次元のときと同じように4次元のベクトルを考えて、それがどのように変換されるかを考えることにしたい。

しかし、ただ(t, x, y, z)をベクトルにするのは問題がある。それは次元がそろっていないということである。tの単位は時間だが、x, y, zは長さの単位を持つ。そこで、「どんな慣性系でも不変の値」を使って4次元ベクトルの成分の次元をそろえておきたい。とはいっても、「どんな慣性系でも不変の値」など今のところ一つくらいしか思い浮かばない。それはもちろん光速cである。

4次元ベクトルを(ct, x, y, z)とすると、ベクトルの成分は全て長さの単位となる。

さらに、簡略化するために
(ct, x, y, z)=(x0, x1, x2, x3)としよう。
また今後はβ=v/cとする。

これを使って前前回のローレンツ変換の式を書きなおすと
LorentzBoost04.jpg
となる。上付きの添え字は累乗と紛らわしくならない限り、特に問題はないはずである。

またこの変換式をなんだかよくわからないが、下のように書く。
LorentzBoost05.jpg

ところで、これを実際に行列形式で書くと
LorentzBoost06.jpg
となる。

次はこの4次元ベクトルとテンソルを使った一般的なローレンツ変換の議論をしていく。

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