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簡単な相対論入門 (3)

相対論

必要な原理と予備知識はそろったので、いよいよ特殊相対論の変換法則、ローレンツ(Lorentz)変換に入る。

まず、ガリレイ変換のときと同じように慣性系S、S'を考え、Sに対してS'がx軸方向に速度vで移動していることを考えよう。ここでガリレイ変換と異なるのは、光速度不変の原理を満たすような変換を行うことである。
そこで
S系:(x, y, z, t)
S'系:(x', y', z', t')
という座標としよう。そして、t=t'=0のときにこの二つの座標は一致していたとしよう。
すると、光速度不変の原理を満たすためには
s² = -c² t² +x² +y² +z² = 0
s'² = -c² t'² +x'² +y'² +z'² = 0
を満たせばよい。
つまりs² = s'² = 0を満たすようなSからS'の変換を導けばよい。

ところでこの変換はどのような変換になるだろう。
第一に一次変換でなければならない。
慣性系から慣性系への変換だから、等速直線運動は等速直線運動に変換されるべきである。

第二にxz平面とx'z'平面、xy平面とx'y'平面は常に一致している。さらに一次変換しか考えないので、
y' = y、z' = z
である。

すると、s² = s'² は、-(ct)² + x² = -(ct')² + x'² となる。

さらにS'系において原点O'は
・任意の時刻t'でx'=0
・時刻tでx=vt
を満たす必要がある。

これらを踏まえて、
x' = ax + bt
t' = dx + et
のa、b、d、eを計算してやればよい。最終的には
LorentzTransform01.jpg
となる。

ところでこれはv » cでどうなるだろうか。
この場合はt'=t、x'=x-vtとなり、ガリレイ変換へと帰着する。これは自然なことである。

このように、光速度不変の原理と一次変換であることだけで、ローレンツ変換を求めることができた。
次は、この変換からどのような現象が起こるかを見ていこう。

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